El objetivo de este ejercicio es encontrar una solución buffer que mantenga el pH entre $3,90$ y $4,90$. Para eso, tenemos que calcular el pH de cada una, ver cuáles son buffers y, finalmente, elegir la mejor.

Solución a. Una solución $0,2 \mathrm{M}$ de $\mathrm{HF}\left(\mathrm{Ka}=6,75 \times 10^{-4}\right)$ 1.a) Cálculo del pH:

El $\mathrm{HF}$ es un ácido débil. Vamos a usar la tabla ICE (Inicial, Cambio, Equilibrio) para calcular la concentración de $\mathrm{H^+}$.

$\mathrm{HF} \quad \rightleftharpoons \quad \mathrm{H^+} \quad + \quad \mathrm{F^-}$

 Concentraciones iniciales: 

$[\mathrm{HF}]_{inicial} = 0,2 \mathrm{M}$

$[\mathrm{H^+}]_{inicial} = 0$

$[\mathrm{F^-}]_{inicial} = 0$

Concentraciones en el equilibrio: 

$[\mathrm{HF}]_{equilibrio} = 0,2 - x$

$[\mathrm{H^+}]_{equilibrio} = x$ 

$[\mathrm{F^-}]_{equilibrio} = x$

$K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{F^-}]}{[\mathrm{HF}]}$

$6,75 \times 10^{-4} = \frac{x \cdot x}{0,2 - x}$

$x^2 + 6,75 \times 10^{-4}x - 1,35 \times 10^{-4} = 0$

Resolvemos usando la fórmula resolvente y obtenemos $x$:

$x = 0,011286 \mathrm{M}$

Entonces, $[\mathrm{H^+}] = 0,011286 \mathrm{M}$.

$\mathrm{pH} = -\log([\mathrm{H^+}]) = -\log(0,011286)$

✅ $\mathrm{pH} = 1,95$

1.b) ¿Es reguladora?:

Solo contiene un ácido débil. Para ser un buffer, necesita también su base conjugada en una concentración significativa.

✅ No es una solución reguladora (buffer)  

Solución b) Una solución $0,2 \mathrm{M}$ de HF y $0,4 \mathrm{M}$ de NaF 2.a) Cálculo del pH:

Tenemos un ácido débil ($\mathrm{HF}$) y su base conjugada ($\mathrm{F^-}$ del $\mathrm{NaF}$). ¡Esto es un buffer!

Usamos la ecuación de Henderson-Hasselbalch:

$\mathrm{pH} = \mathrm{pKa} + \log \left(\frac{[\mathrm{Base}]}{[\mathrm{Acido}]}\right)$

Primero, calculamos el $\mathrm{pKa}$:

$\mathrm{pKa} = -\log(K_a) = -\log(6,75 \times 10^{-4})$

$\mathrm{pKa} = 3,17$

Ahora, aplicamos la fórmula:

$\mathrm{pH} = 3,17 + \log \left(\frac{0,4 \mathrm{M}}{0,2 \mathrm{M}}\right)$

$\mathrm{pH} = 3,17 + \log(2)$

$\mathrm{pH} = 3,17 + 0,30$

✅ $\mathrm{pH} = 3,47$

2.b) ¿Es reguladora? 

Componentes: Ácido débil ($\mathrm{HF}$) y su base conjugada ($\mathrm{F^-}$). ¡OK!

Concentraciones:

$[\mathrm{HF}] = 0,2 \mathrm{M}$ (dentro del rango $0,05-1 \mathrm{M}$). ¡OK!

$[\mathrm{F^-}] = 0,4 \mathrm{M}$ (dentro del rango $0,05-1 \mathrm{M}$). ¡OK!

Relación de concentraciones:

$C_b/C_a = 0,4 / 0,2 = 2$ (dentro del rango $0,1-10$). ¡OK!

✅ Sí, es una solución reguladora (buffer)

Solución c) Una solución de $0,4 \mathrm{M}$ de $\mathrm{NH}_{3}\left(\mathrm{Kb}=1,8 \times 10^{-5}\right)$ 1.c) Cálculo del pH:

El $\mathrm{NH_3}$ es una base débil. Vamos a calcular el $\mathrm{pOH}$ y luego el $\mathrm{pH}$.

$\mathrm{NH_3} \quad + \quad \mathrm{H_2O} \quad \rightleftharpoons \quad \mathrm{NH_4^+} \quad + \quad \mathrm{OH^-}$

Concentraciones iniciales: 

$[\mathrm{NH_3}]_{inicial} = 0,4 \mathrm{M}$

$[\mathrm{NH_4^+}]_{inicial} = 0$

$[\mathrm{OH^-}]_{inicial} = 0$

Concentraciones en el equilibrio: 

$[\mathrm{NH_3}]_{equilibrio} = 0,4 - x$

$[\mathrm{NH_4^+}]_{equilibrio} = x$

$[\mathrm{OH^-}]_{equilibrio} = x$

$K_b = \frac{[\mathrm{NH_4^+}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{NH_3}]}$

$K_b  = \frac{x \cdot x}{0,4 - x}$

Ahora vamos a reorganizar esta ecuación para obtener la forma de una ecuación cuadrática ($ax^2 + bx + c = 0$):

$K_b \cdot (0,4 - x) = x^2$

$K_b \cdot 0,4 - K_b \cdot  x = x^2$

Movemos todos los términos a un lado para igualar a cero:

$x^2 + K_b \cdot x - K_b \cdot 0,4 = 0$

Reemplazamos el valor de $K_b = 1,8 \times 10^{-5}$ y nos queda:

$x^2 + 1,8 \times 10^{-5}x - 7,2 \times 10^{-6} = 0$

donde: $a = 1$ $b = 1,8 \times 10^{-5}$ $c = -7,2 \times 10^{-6}$

Aplicamos la fórmula resolvente de cuadráticas ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$)

$x = \frac{-(1,8 \times 10^{-5}) \pm \sqrt{(1,8 \times 10^{-5})^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-7,2 \times 10^{-6})}}{2 \cdot (1)}$

$x = \frac{-1,8 \times 10^{-5} \pm \sqrt{0,000028800324}}{2}$

$x = \frac{-1,8 \times 10^{-5} \pm 0,0053666}{2}$

 Obtenemos dos posibles valores para $x$. Como $x$ representa una concentración, tiene que ser el valor positivo:

$x_1 = \frac{-1,8 \times 10^{-5} + 0,0053666}{2} = \frac{0,0053486}{2} = 0,0026743 \mathrm{M}$

$x_2 = \frac{-1,8 \times 10^{-5} - 0,0053666}{2} = \frac{-0,0053846}{2} = -0,0026923 \mathrm{M}$❌ (descartamos este valor)

Entonces, el valor de $x$ es:

$x = 0,0026743 \mathrm{M}$

Esto significa que $[\mathrm{OH^-}] = 0,0026743 \mathrm{M}$

Entonces podemos calcular el pOH y luego el pH:

$\mathrm{pOH} = -\log([\mathrm{OH^-}]) = -\log(0,0026743)$

$\mathrm{pOH} = 2,57$

$\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH} = 14 - 2,57$

✅ $\mathrm{pH} = 11,43$

  2.b) ¿Es reguladora?

Solo contiene una base débil. Para ser un buffer, necesita también su ácido conjugado en una concentración significativa.

✅ No es una solución reguladora (buffer)

Solución d. Una solución $0,4 \mathrm{M}$ de $\mathrm{NH}_{3}$ y $0,2 \mathrm{M}$ de $\mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}$

1.a) Cálculo del pH:

Tenemos una base débil ($\mathrm{NH_3}$) y su ácido conjugado ($\mathrm{NH_4^+}$ del $\mathrm{NH_4Cl}$). ¡Esto es un buffer!

Usamos la ecuación de Henderson-Hasselbalch para bases:

$\mathrm{pOH} = \mathrm{pKb} + \log \left(\frac{[\mathrm{Acido}]}{[\mathrm{Base}]}\right)$

Primero, calculamos el $\mathrm{pKb}$:

$\mathrm{pKb} = -\log(K_b) = -\log(1,8 \times 10^{-5})$

$\mathrm{pKb} = 4,74$

 Ahora, aplicamos la fórmula:

$\mathrm{pOH} = 4,74 + \log \left(\frac{0,2 \mathrm{M}}{0,4 \mathrm{M}}\right)$

$\mathrm{pOH} = 4,74 + \log(0,5)$

$\mathrm{pOH} = 4,74 - 0,30$

$\mathrm{pOH} = 4,44$

Calculamos el $\mathrm{pH}$:

$\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH} = 14 - 4,44$

✅ $\mathrm{pH} = 9,56$

2.b) ¿Es reguladora?:

Componentes: Base débil ($\mathrm{NH_3}$) y su ácido conjugado ($\mathrm{NH_4^+}$). ¡OK!

Concentraciones:

$[\mathrm{NH_3}] = 0,4 \mathrm{M}$ (dentro del rango $0,05-1 \mathrm{M}$). ¡OK!

$[\mathrm{NH_4^+}] = 0,2 \mathrm{M}$ (dentro del rango $0,05-1 \mathrm{M}$). ¡OK!

Relación de concentraciones:

$C_a/C_b = 0,2 / 0,4 = 0,5$ (dentro del rango $0,1-10$). ¡OK!

✅ Sí, es una solución reguladora (buffer)

c) Decidir cuál opción se adapta mejor a las necesidades del equipo. Bueno.. El equipo necesita un buffer que mantenga el pH en un rango de $3,90-4,90$.

Las soluciones reguladoras (buffers) que encontramos son:

Opción b: $\mathrm{HF} / \mathrm{NaF}$, con un $\mathrm{pH} = 3,47$. Su $\mathrm{pKa}$ es $3,17$. Un buffer funciona mejor en el rango de $\mathrm{pKa} \pm 1$, es decir, entre $2,17$ y $4,17$.

Opción d: $\mathrm{NH_3} / \mathrm{NH_4Cl}$, con un $\mathrm{pH} = 9,56$. El $\mathrm{pKa}$ del $\mathrm{NH_4^+}$ (ácido conjugado) es $14 - \mathrm{pKb} = 14 - 4,74 = 9,26$. Su rango de acción estaría entre $8,26$ y $10,26$. El $\mathrm{pH}$ de la opción b ($3,47$) está cerca del rango deseado, aunque un poco por debajo. El sistema $\mathrm{HF}/\mathrm{F^-}$ es un buffer ácido, y su $\mathrm{pKa}$ ($3,17$) es el más cercano al rango de pH que busca el equipo.

El $\mathrm{pH}$ de la opción d ($9,56$) está muy lejos del rango deseado. ✅ La opción que mejor se adapta a las necesidades del equipo es la b, ya que es un buffer ácido y su $\mathrm{pKa}$ es el más cercano al rango de $\mathrm{pH}$ deseado, aunque las concentraciones específicas dadas no produzcan un $\mathrm{pH}$ exactamente dentro de ese rango.